光學(xué)元件是很精密的元件，制作成本較高，如果能減少元件的厚度，甚至做成片狀透鏡，則不但可以減少光學(xué)元件的尺寸，從而縮小燈具或其他設(shè)備的大小，還可以節(jié)省材料，降低成本。由于厚度減少，光吸收也減少，燈具或儀器效率也會(huì)隨之提高，因此做成高質(zhì)量的薄片形的光學(xué)零件一直是光學(xué)設(shè)計(jì)追求的目標(biāo)之一。

　菲涅爾（Fresnel）透鏡是一種片狀的薄形透鏡，它一直以其輕、薄、價(jià)格低廉優(yōu)勢(shì)而在一些方面得到應(yīng)用。但市場(chǎng)上的菲涅爾透鏡多為等差半徑的同心圓結(jié)構(gòu)，其制作缺乏精確的光學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程，導(dǎo)致成像質(zhì)量不是很高，有的甚至只是簡(jiǎn)單的波紋結(jié)構(gòu)，其光學(xué)質(zhì)量就更差了。即使是較好的菲涅爾透鏡，也是通常將普通透鏡分為小段后，近似為折線，并經(jīng)過(guò)不同距離的簡(jiǎn)單平移而形成，這些設(shè)計(jì)方法上的缺陷造成了菲涅爾透鏡的低質(zhì)量。

　LED體積很小，但市場(chǎng)上銷售的LED用杯狀透鏡大都厚度在10mm以上，這成為L(zhǎng)ED在某些場(chǎng)合應(yīng)用的致命問(wèn)題，雖然可以用菲涅爾透鏡來(lái)減薄透鏡的厚度和減少光吸收，但如何進(jìn)行精確的光學(xué)設(shè)計(jì)卻很少見(jiàn)到文獻(xiàn)報(bào)道。

　本文介紹的是能獲得精確的超薄鋸齒形透鏡的設(shè)計(jì)方法，其光學(xué)質(zhì)量好，光線利用率較高。因?yàn)橐话愕姆颇鶢柾哥R在理論上就存在浪費(fèi)，即透過(guò)透鏡的光線理論上就有一部分不能到達(dá)設(shè)計(jì)的目的地，本方法得到的透鏡對(duì)點(diǎn)光源來(lái)說(shuō)理論上不存在浪費(fèi)。此外，各個(gè)小鋸齒之間的距離也可根據(jù)需要而不同，而且在同一透鏡中不同位置的鋸齒間距也可變化，從而使這種方法設(shè)計(jì)的鋸齒形透鏡有更廣泛的適應(yīng)性，即它可以適應(yīng)不同的使用條件和不同的加工條件的需求。

　這種鋸齒形透鏡適用LED為光源的二次光學(xué)透鏡。對(duì)于LED這種尺寸很小的光源，具有小而薄的光學(xué)透鏡是非常有意義的。

　一、設(shè)計(jì)原理

　單個(gè)透鏡一般是一個(gè)表面形狀為曲面的透明材料，其作用是改變光線的方向，形成所需的光強(qiáng)空間分布。其缺點(diǎn)是往往比較厚，因此體積大成本高，而且吸收也就大，特別是曲率大的透鏡更是如此。為簡(jiǎn)單計(jì)，舉一個(gè)平凸透鏡的例子，原始的平凹透鏡見(jiàn)圖1（a），相應(yīng)地傳統(tǒng)的菲涅爾透鏡見(jiàn)圖1（b），為了說(shuō)明原理，圖中齒距畫(huà)得比較大。

　圖1 傳統(tǒng)菲涅爾透鏡的形成原理

　菲涅爾透鏡的設(shè)計(jì)原理其實(shí)是用若干小面來(lái)代替整個(gè)連續(xù)的大曲面。圖1（c）為傳統(tǒng)菲涅爾透鏡設(shè)計(jì)原理。圖1（b）的鋸齒狀菲涅爾透鏡的功能和圖1（a）的原始透鏡相同。傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法可以用圖1（c）表示。實(shí)際上圖1（b）的菲涅爾透鏡可以看成是由圖1（a）的透鏡刪除多個(gè)矩形部分，再把剩余部分往下移動(dòng)成一個(gè)片狀而成為菲涅爾透鏡的。見(jiàn)圖1（c），其中臺(tái)階狀陰影就是被刪除的多個(gè)矩形組成的部分。

　顯然圖1（b）這一菲涅爾透鏡比透鏡（a）要薄，從而吸收小，節(jié)省材料。但這種按傳統(tǒng)方法設(shè)計(jì)的透鏡只對(duì)平行光是正確的，這時(shí)（c）中陰影部分對(duì)光線是沒(méi)有影響的。但是若是非平行光，如LED為光源時(shí)，（c）中的陰影部分對(duì)光線就有影響了。若把它刪除制成菲涅爾透鏡，就會(huì)造成很大的雜散光。此外，若透鏡的截面用折線代替小弧線，也會(huì)帶來(lái)光學(xué)上的誤差。

　為了克服上述缺點(diǎn)，我們提出用兩種新的方法來(lái)設(shè)計(jì)菲涅爾透鏡。這里我們針對(duì)單個(gè)LED來(lái)設(shè)計(jì)，對(duì)其他光源，設(shè)計(jì)原理是相同的，因此原則上也可以推廣到其他光源。

　新方法的基本思想是讓被刪除的無(wú)效部分的邊緣沿著光線劃分，而且有效的剩余部分移動(dòng)時(shí)是沿著光線的，同時(shí)還按一定比例變化其尺寸，這樣光線在透鏡中傳播時(shí)不會(huì)打到這些邊緣無(wú)效部分去，而且還將按原方向折射。這樣就使得散射光減少，透鏡的光學(xué)效率也就提高了。

　二、設(shè)計(jì)方法

　1、分角度法

圖2 分角度法

　我們假定原始透鏡的入射面為平面，出射面（圖2中AB所在的面）為曲面。至于如何設(shè)計(jì)原始曲面，則不在本文的涉及范圍之內(nèi)。而新的出射面為我們要設(shè)計(jì)的鋸齒形。

　在本文中，我們可以假定O點(diǎn)為光源經(jīng)過(guò)入射面后的虛擬像點(diǎn)的位置，也就是光線由O點(diǎn)出發(fā)經(jīng)出射面后到達(dá)像面（透鏡的作用可以不是“成像”而是照明）。這樣我們就把入射面的作用包括在內(nèi)了。我們可以將AB所在的曲面按對(duì)O點(diǎn)所張的角度劃分成若干小段。圖中AB就是其中的一個(gè)小段。我們不是按照第一節(jié)中那樣將這些小段垂直移動(dòng)下來(lái)，而是將其沿光線方向移動(dòng)，而且移動(dòng)的同時(shí)按線性比例縮放。這樣AB就縮放到了A'B'.按照線性光學(xué)原理，小面A'B‘所造成的光線折射的方向與小面AB的是完全相同的，只是光線的位置有微小的區(qū)別。由于透鏡尺寸比像距小得多，而OA與OA’之間的距離差比像距更是個(gè)二級(jí)小量，因此我們完全可以只關(guān)心出射光線的角度設(shè)計(jì)前后不變而不關(guān)心光線位置的微小變化，也就是說(shuō)變化前后的小面將不對(duì)整個(gè)透鏡的光學(xué)效果帶來(lái)明顯的差別，特別對(duì)照明用的透鏡更是如此。

　此外，角度的劃分可以是均等的，也可以是不等的，這兩種情況都不影響光學(xué)效果。為了說(shuō)明問(wèn)題，圖2只將透鏡分成了8份，實(shí)際上分割的數(shù)目越大透鏡就可以越薄。不過(guò)，如下文所說(shuō)，數(shù)目多了會(huì)帶來(lái)新的問(wèn)題。

　但是可以看到，上述方法一個(gè)缺點(diǎn)是透鏡的鋸齒厚度會(huì)不同，這可能會(huì)影響透鏡的強(qiáng)度。下面提出另一種方法，可以做到鋸齒厚度相等，雖然設(shè)計(jì)過(guò)程復(fù)雜一些，但它不但可以克服厚度不等的問(wèn)題，而且消除雜散光。

　2、分厚度法

圖3 分厚度法

　圖3與圖2的原始透鏡是相同的，但圖3中把原始透鏡在厚度方向按相等距離劃分成若干份（見(jiàn)圖3的水平虛線），再用上小節(jié)分角度法中相同的方法把每一小段在沿光線移動(dòng)的同時(shí)線性縮小，形成厚度基本相同的透鏡。

　這一方法不但可以得到相同的鋸齒深度，從而增加透鏡的強(qiáng)度，而且與分角度法相比可以在相同齒數(shù)時(shí)減少厚度，或在相同厚度時(shí)減少鋸齒數(shù)。由下面的分析可以知道這一結(jié)果還可以使得透鏡的雜散光減少，從而提高成像質(zhì)量和光利用效率。

　還應(yīng)該指出，一般情況入射和出射兩個(gè)面中只要有一個(gè)面做成鋸齒面就可以滿足設(shè)計(jì)要求。如果希望入射面做成鋸齒面而出射面做成平面，上述析也是一樣的。例如可以使外表面是平滑面而內(nèi)表面是鋸齒面，這就可以避免灰塵積累。更重要的是如果鋸齒的那一面不是平面而是曲面，其結(jié)果是相同的。這樣我們就不僅可以做成平片狀的菲涅爾透鏡，也可以做成其他諸如弧形瓦片狀或碗形的菲涅爾透鏡了。

　三、雜散光分析

　由下面的分析可知，新方法設(shè)計(jì)的鋸齒透鏡不但保留了原有方法的大大減少厚度的優(yōu)點(diǎn)，而且可以減少由于加工誤差引起的雜散光。

　由于在實(shí)際加工中，鋸齒的尖端和底部不可能做到無(wú)限小，而是有一定圓角，這個(gè)圓角將會(huì)影響光線不能到達(dá)應(yīng)該到達(dá)的地方，造成雜散光。圖4是單個(gè)鋸齒雜散光的模擬結(jié)果。

圖4 單個(gè)鋸齒雜散光的模擬結(jié)果

　而雜散光的多少與加工的精度有關(guān)。假定鋸齒的平均寬度為d,鋸齒尖端的圓角半徑為r,并粗略認(rèn)為在r范圍內(nèi)的光變成了雜散光，光損失的比例為r/d.例如鋸齒寬為1mm,加工精度造成有的r為0.05mm,則光損失為5%.這是菲涅爾透鏡不得不有的光損失，這也是菲涅爾透鏡的缺點(diǎn)。

　但相對(duì)于其他方法設(shè)計(jì)的菲涅爾透鏡而言，新方法等厚度法可以相對(duì)減少這種損失。其原因是等厚度法與其他方法相比時(shí)，在同樣厚度的條件下可以有較少的鋸齒數(shù)目，從而使得平均寬度d更大，r/d相對(duì)更小，因此光損失更少。

　進(jìn)一步分析知道，由于LED光源是在光軸部分的發(fā)光強(qiáng)度大，邊緣部分小，而分厚度法得到的鋸齒恰恰是在中間部分比在邊緣部分有更大的齒距（見(jiàn)圖3），因此在光強(qiáng)度大的地方損失會(huì)少，即總體上可以有更少的光損失。

　圖5 兩個(gè)菲涅爾透鏡的實(shí)例

　將設(shè)計(jì)好的截面旋轉(zhuǎn)或拉伸，就可以得到三維的透鏡。圖5為兩個(gè)菲涅爾透鏡的實(shí)例。拉伸得到的（a）可用于條形光斑，旋轉(zhuǎn)得到的（b）可用于圓形光斑。

　本設(shè)計(jì)方法用將理想的光學(xué)表面分割、沿光線方向移動(dòng)同時(shí)縮放的方法，在保持透鏡的理想光學(xué)性能的同時(shí)使得光學(xué)損失減少到最少，相對(duì)其他方法而言，可以得到更高的效率。本方法對(duì)光源尺度很小的LED光源可以得到很好的效果。